Лекция 3

Тема: Показатели надёжности восстанавливаемых устройств технических объектов ИС. Зависимость надёжности от времени.

План

  1. Основные определения показателей надёжности восстанавливаемых устройств технических систем (ИС).
  2. Количественные характеристики, расчётные статистические и вероятностные формулы для оценки восстанавливаемых объектов.
  3. Специальные методы и рекомендации по выбору показателей надежности ИС.
  4. Законы распределения в надёжности: экспоненциальный, нормальный, закон Рэлея и другие.
  5. Графические зависимости ВБР от времени, интенсивностей и частоты отказов и другие от времени.

Ключевые слова

Восстанавливаемые устройства, количественные характеристики, вероятность отказа, время восстановления, интенсивность восстановления, поток отказа, коэффициент готовности, наработка на отказ, оперативная готовность, простой, ремонт, экспоненциальный закон, Рэлея, нормальный закон, параметры надежности, статистическая оценка, вероятностная оценка.

Показатели надежности восстанавливаемых объектов

К показателям надежности восстанавливаемых объектов могут быть отнесены: например параметр потока отказов, наработка на отказ, коэффициент готовности, коэффициент вынужденного простоя, интенсивность восстановления

Параметром потока отказов называется отношение числа отказавших объектов в единицу времени к числу испытываемых объектов при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются исправными (новыми или отремонтированными).

Статистически этот показатель оценивается по следующей формуле:

1, (1)

где n(∆t) – число отказавших образцов в интервале времени от t-∆t/2 до t+∆t/2; N – число испытываемых образцов; ∆t – интервал времени.

Для любого момента времени независимо от закона распределения времени безотказной работы параметр потока отказов больше чем частота отказов, т.е. ω(t)(t). Интенсивность восстановления оценивается

11,

где tв – время восстановления.

Наработкой на отказ называется среднее значение времени между соседними отказами.

Эта характеристика определяется по статистическим данным об отказе по формуле

2, (2)

где ti – время исправной работы изделия между (i-1)-м и i-м отказами;

n – число отказов за некоторое время t.

Наработка на отказ является характеристикой надежности, которая получила широкое распространение на практике.

Параметр потока отказов и наработка на отказ характеризуют надежность ремонтируемого изделия и не учитывает времени, необходимого на его восстановление. Поэтому они не характеризуют готовность изделия к выполнению своих функций в нужное время. Для этой цели вводятся такие критерии (признак, мерило по которому оценивается надежность объекта), как коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя.

Коэффициент готовности Кг используется в качестве показателя надежности, если кроме факта отказа необходимо учитывать время восстановления.

Коэффициент готовности определяется как вероятность того, что в произвольный заданный момент времени t объект находится в состоянии работоспособности (кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекты по назначению не предусматривается)

Кг= tср./( tср.+ tв), (3)

где tср. – наработка на отказ, tв – среднее время восстановления.

Статистически оценка коэффициента готовности3

где 31– число объектов, находящихся в рабочем состоянии в момент времени t.

Разность 3233– выражает количество объектов, находящихся в момент времени t в состоянии восстановления (ремонта).

Для пользователей сложных информационных систем понятие их надежности ощущается по коэффициенту готовности системы Кг, то есть по отношению времени работоспособного состояния системы к времени её незапланированного простоя. Для типичного современного сервера Кг=0,99, что означает примерно 3,5 суток простоя в год. За рубежом часто используется классификация систем по уровню надежности, показанная в табл.

Классификация систем по уровню надежности.

Таблица

Коэффициент готовности, Кг Максимальное время простоя в год Тип системы
0,99 3,5 сут Обычная (Conventional)
0,999 8,5 ч Высокой надежности (High availability)
0,9999 1 ч Отказоустойчивая (Fault resilient)
0,99999 5 мин Безотказная (Fault tolerant)

Коэффициент технического использования – отношение математического ожидания интервалов времени пребывания системы в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математических ожиданий интервалов времени пребывания системы в работоспособном состоянии, простоев, обусловленных техническим обслуживанием, и ремонтов за тот же период эксплуатации.

34

где Тп – время простоя системы, обусловленное выполнением планового технического обслуживания и ремонта, пересчитанное на один отказ.

Коэффициентом вынужденного простоя называется отношение времени восстановления к сумме времен наработки на отказ и времени восстановления взятых за один и тот же календарный срок.

Кп= tв/( tср.+ tв), (4)

Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связанны между собой зависимостью.

Кп=1г. (5)

Коэффициент оперативной готовности Ко.г. – вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.

6, (6)

где P(tx,t) – условная вероятность безотказной работы системы на интервале (tх, tх+ t) при условии, что в момент tх система была работоспособна.

Выбор показателей надежности.

Показатели надежности в каждом конкретном случае необходимо выбирать так, чтобы они наилучшим образом характеризовали надежность объекта по его целевому назначению. Существуют специальные методики по выбору показателей надежности, приведем некоторые краткие рекомендации:

  1. Если невосстанавливаемый объект работает однократно в течение небольшого заданного отрезка времени tзад.<<Tср., то в качестве показателя надежности целесообразно выбрать вероятность безотказной работы Р(tзад.) за заданное время.

Этот же показатель используется в случае периодически обслуживаемых КС и их подсистем, например на борту самолета, когда во время полета ремонт невозможен. В этом случае показатель характеризует отсутствие отказов во время полета.

  1. Если отказ невосстанавливаемого объекта не влечет за собой опасных последствий и объект эксплуатируется до наступления отказа, тогда целесообразно характеризовать его надежность через среднюю наработку до отказа Тср. (электромеханических устройств).
  2. Если невосстанавливаемый объект характеризуется постоянством интенсивности отказов, тогда в качестве надежности целесообразно использовать её значение λ. Этот показатель используется для характеристики невосстанавливаемых электронных узлов (ИС и БИС).
  3. Если время восстановления восстанавливаемого объекта мало по сравнению с временем безотказной работы целесообразно использовать показатели надежности ω(t) и tср., когда ω(t)=const.

Для ответственных управляющих технических систем, отказ которых влечет за собой тяжелые последствия, несмотря на скорость восстановления, целесообразно использовать в качестве показателя надежности параметр потока отказов ω(t) или наработку на отказ tср. (если ω(t)=const).

  1. Если существенное значение имеет полезное время работы восстанавливаемого объекта, в качестве показателя надежности целесообразно использовать коэффициент готовности Кг.

Этот показатель применяется для универсальных КС, где существенное значение имеют потери машинного времени.

  1. Если важное значение имеет безотказная работа в периоды выполнения операции, то как показатель надежности применяется коэффициент оперативной готовности.

Зависимость надежности от времени

Из рассмотренных выше выражений для оценки количественных характеристик надежности видно, что все характеристики, кроме средней наработки до первого отказа являются функциями времени. Время между соседними отказами для элементов аппаратуры является непрерывной случайной величиной, которая характеризуется некоторым законом распределения. Зависимость надежности от времени описывается с помощью математической модели надежности (ММН) – математического выражения (формулы, алгоритма, уравнения, системы уравнений), позволяющего определить показатели надежности. Простейшие ММН в виде формул носят название статистических моделей распределения. При исследовании надежности применяются следующие модели распределения: экспоненциальный, нормальный, Рэлея, Пуассона, Вейбулла и др.

Наиболее распространенной статистической моделью надежности является экспоненциальная модель распределения времени до отказа, по которой вероятность безотказной работы объекта выражается зависимостью

7, (7)

где λ – параметр модели.

Частота отказа при экспоненциальной модели

аэ(t) = -dP(t)/dt = λ∙e-λ∙t. (8)

Функция интенсивности отказов при экспоненциальной модели

λэ(t) = аэ(t)э(t) = λ = const. (9)

Графики этих функций приведены на рис. 1.

8

Рис. 1. График зависимости показателей надежности от времени для экспоненциальной модели распределения.

Наработка до отказа при экспоненциальной модели

10(10)

Экспоненциальная модель может быть использована в случае, когда интенсивность отказов постоянная величина (λ=const), а также как характеристика достаточна сложных восстанавливаемых объектов в период эксплуатации II, если исключить период приработки I и период интенсивного старения III (рис. 1).

С экспоненциальной моделью тесно связана модель Пуассона. Она основана на представлении о потоке случайных событий, называемого пуассоновским, если выполнены условия стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Стационарность – свойство потока, выражающееся в том, что параметры потока не зависят от времени.

Ординарность – свойство потока, выражающееся в том, что в один и тот же момент времени может произойти только одно событие.

Отсутствие последействия – свойство потока, выражающееся в том, что вероятность наступления данного события не зависит от того, когда произошли предыдущие события и сколько их было.

Таким образом модель Пуассона позволяет выразить вероятность Р(t, n) того, что на заданном интервале времени произошло равно n событий (отказов), если время между отдельными событиями (отказами) распределено экспоненциально с параметром λ. По модели Пуассона

111(11)

Модель Вейбулла находит практическое применение благодаря своей простоте и гибкости, так как в зависимости от значений параметров характер модели видоизменяется в широких пределах. Модель надежности Вейбулла, называемая также моделью Вейбулла-Гнеденко, была предложена шведским ученым В. Вейбуллом в качестве модели прочности материалов, а затем обоснована математически российским ученым Б.В. Гнеденко. Вероятность безотказной работы по модели надежности Вейбулла выражается формулой.

12, (12)

где α и β – параметры модели.

Ориентировочно значение β=0,2÷0,4 для электронных устройств с убывающей функцией интенсивности отказов и β=1,2÷1,4 для механических устройств и возрастающей функцией интенсивности отказов.

Пример прогнозирования вероятности безотказной работы КС.

Пусть вероятность безотказной работы КС за t=1000 ч. равна Р=0,99, составим прогноз вероятности безотказной работы этой же КС через 105 ч. работы без обслуживания.

В случае экспоненциальной модели интенсивность отказов КС

13

В случае модели Вейбулла при β=0,5

14

Следовательно, через 105 ч работы вероятность безотказной работы КС, прогнозированной по экспоненциальной модели, равна

15

Прогноз по модели Вейбулла

16

Следовательно, выбор правильной модели надежности не безразличен для практики.

Нормальное распределение и модель Рэлея используют для описания таких систем и устройств, которые подвержены действию износа, здесь величина интенсивности λ(t) монотонно возрастает.

Выбор модели надежности – сложная научно-техническая проблема. Она может быть удовлетворительно решена стандартными методами математической статистики, если имеется большой статистический материал об отказах исследуемых объектов. Из-за высокой надежности КС и их компонентов, как правило, статистических данных об отказах немного. В последнем случае при выборе модели руководствуются результатами ускоренных испытаний, проводимыми в утяжеленных условиях работы объекта, физическими соображениями, предыдущим опытом.

В случае приближенных оценок часто выбирается экспоненциальная модель как наиболее удобная с точки зрения аналитических преобразований. Экспоненциальную модель рекомендуется применить при выполнении расчетов надежности в случае отсутствия других исходных данных для расчета, кроме интенсивности отказов. В случае наличия более полных исходных данных целесообразно пользоваться другой, более точной моделью, например моделью Вейбулла.

 

Контрольные вопросы и задания

  1. Что характеризует коэффициент готовности системы?
  2. В каких случаях целесообразно выбрать в качестве показателя надежности вероятность безотказной работы; наработку до отказа; наработку на отказ?
  3. Каким соотношением связаны коэффициент готовности компьютерного устройства – Кг и коэффициент простоя – Кп?
  4. Какой показатель ремонтопригодности характеризующий надежность объекта, рекомендуется использовать, если важное значение имеет безотказная работа?
  5. Какую формулу необходимо использовать при расчете коэффициента простоя?
  6. Дайте определение коэффициента готовности системы.
  7. Что такое поток отказов?
  8. Назовите известные методы расчета восстанавливаемых систем?
  9. Как оценить время восстановления системы?
  10. Какие законы распределения используются в надежности.

Литература:

  1. Иыуду К.А. Надежность, контроль и диагностика вычислительных машин и систем. М: Высшая школа, 1989-216с
  2. Расулова С.С. Надежность вычислительных машин и систем. Учебное пособие, ТашГТУ, 1995-60с
  3. Расулова С.С Надежность ЭВС. Конспект лекций. ТашГТУ, 2001-90с
  4. Расулова С.С. Обеспечение надежности и отказоустойчивости компьютерных систем. Проблемная лекция. ТашГТУ, 2004-27с
  5. Степанов А.Н. Архитектура вычислительных систем и компьютерных сетей. Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2007. -509 с.

Меню выбора лекций

Предыдущая лекция                 Следующая лекция